درس هندسه در دبیرستان همیشه یکی از دروسی بوده که دانش آموزان در ایران با آن مشکل داشته اند ظهوری زنگنه وگویا طی یک بررسی تاریخی راجع به آموزش هندسه در ایران ومقایسه ای این آموزش با سایر کشورها تدریس ویادگیری هندسه را در صد سال اخیر در ایران به صورت زیر جمع بندی نمودند :

1-    تاکید بر آموزش هندسه فقط از یک دیدگاه

2-    عدم ارتباط هندسی با دنیای واقعی

3-    عدم ارتباط هندسه بادیگر درس های ریاضی

4-    دیدگاه مجرد وسنتی در تدریس هندسه که تاکید بر حفظ کردن قضایا را درپی داشت .

5-    تاکید بر حل مسایل از نوع ثابت کنید

6-    معدود بودن تعداد افرادی که توانایی یادگیری مطالب هندسه را داشته اند .

7-    عدم اعتماد به نفس قشر عظیمی از دانش آموزان در آموختن هندسه

8-    عدم هماهنگی بین هندسه دوره متوسطه با هندسه هایی که در دانشگاه تدریس می شده است .

9-    عدم تناسب شیوه نگارش کتاب های هندسه در صد سال اخیر با توانایی دانش آموزان وشرایط  سنی آن ها .

با اندکی توجه ، ملاحظه می شود که بررسی تفصیلی هر یک از موارد بالا نیازمند کارهای پژوهشی اصیل است که هدف این مقاله ورود به آن ها نیست .

آموزش هندسه به عنوان :

-         علم شناخت دنیایی که در آن زندگی می کنیم

-         روش شناخت نمایش مفاهیم وفرایند های شاخه های مختلف ریاضی وعلوم

-         نقطه تلاقی بین ریاضی به عنوان علم مجرد وریاضی به عنوان یک علم تجربی شهودی

مدل سازی پدیده های طبیعی

-         تمثیلی برای یاد دادن ویاد گرفتن استدلال استنتاجی

-         وسیله ای موثر ومفید در ارایه ی کاربردهای بدیع وخلاق ریاضی در زندگی واقعی

-         ابزاری برای آموزش استراتژی حل مساله

-         ابزاری برای آموزش استدلال استقرایی

-         فرایندی که در آن دانش آموزان به کشف روابط ریاضی تشویق شوند ودر طی آن فرصت پیدا کنند تا اشتباه کرده واشتباهات خود را تصحیح نمایند وحدسیه سازی کنند وآن ها را به آزمایش بگذارند سپس به استدلال در زمینه اعتبار آن ها بپردازند تا در نهایت به قابلیت های خویش در حل مساله های پیچیده اعتماد پیدا کنند .

-         این که مستقیم وغیر مستقیم به دانش آموزان بگوئیم انجام دهید بسازید توجه کنید ، تنظیم کنید وپس از این مراحل به استدلال دقیق بپردازند .

-         فرصتی برای بالا بردن روح مشارکت از طریق انجام فعالیت ها در کلاس به خصوص در قالب گروههای کوچک همکاری .

-         بهانه ای که توسط آن بتوان از دانش آموزانانتظار داشت که نقش فعالی در توسعه دانش ریاضی خود داشته باشند .

-         این که در امتحانات وارزیابی های کلاسی تکیه بر سنجش توانایی های حل مساله وبه کارگیری مفاهیم تعریف وقضیه های کتاب باشد زیرا سئوال مستقیم درباره ی نوشتن تعریف ها صورت قضیه ها یا اثبات کامل قضیه چندان کمکی به ارتقای یادگیری هندسی دانش آموزان نمی کند .علاوه بر این اهداف که در تالیف کتاب درسی هندسه باید به آن ها توجه کرد چینش وسازمان دهی محتوای کتاب های درسی ریاضی نیز که هندسه هم یکی از آن هاست حائز اهمیت ویژه است.

 

 

 

 


 

چینش مطالب کتاب های درسی ریاضی

تحقق اهداف تبیین شده ی آموزشی وتنظیم ریز مواد آموزشی بر اساس آن ها یکی از چالش های مهم تدوین یک برنامه درسی ریاضی وتالیف یک کتاب درس ریاضی است تنظیم اهداف آموزشی بر اساس تحقیقات آموزشی یک مساله است . وچگونگی تحقق این اهداف مساله دیگری است مثلا پرداختن به این بحث مهم است که ریز مواد چگونه مواد تنظیم شوند تا اهداف آموزشی وایده آل های ورد نظر بر آورده شوند ؟

پیدا کردن چگونگی انجام این مهم در حقیقت پیدا کردن یک مدل ریاضی به گونه ای است که اهداف آموزشی مورد نظر به عنوان اصل  موضوع در آن صدق کنند. به طور مثال با مطالعه تاریخی کتاب های درسی ریاضی در ایران برنامه ریزان کتاب های هندسه 1 و2 به این نتیجه رسیده اند که یکی ازمشکلات عمده این کتاب ها ناشی از چینش مطالب وریز مواد انتخابی آن ها است به همین دلیل برای روشن تر شدن بحث به دو رویکرد متمایز زیر برای چینش مطالب یک کتاب درسی ریاضی اشاره می شود :

الف- چینش مطالب تدوین برنامه وتالیف کتاب بر اساس سلسله مراتب موضوعی یک کار نسبتا سرراست است زیرا برای این کار کافی اس دقت شود که پیش نیاز مطالب قبلا کفته شده باشد مثلا برای مطالعه مشتق لازم است تعریف وخواص تابع وحد پیوستگی به ترتیب نوشته شوند بنا بر این با چنین رویکردی به طور طبیعی ریز مواد مبحثی مانند مشتق به صورت زیر خواهد بود :

فصل اول : تابع وخواص آن

فصل دوم : حد وپیوستگی تابع

فصل سوم : مشتق تابع

از این گذشته برای معرفی تابع انتظار می رود که ابتدا مجموعه ها ورابطه ها معرفی شوند چنین چینشی ساده ویک بعدی است . یعنی تقریبا هیچ یک از عوامل مختلف یادگیری وپیچیدگی های آموزشی آن در تنظیم وتدوین ریز مواد دخالت ندارند در حقیقت برای تنظیم چنین ریز موادی به تنها چیزی که نیاز است اطمینان از درستی محتوای ریاضی است .

طبیعی است که برای تالیف چنین کتابی تنها تخصص ریاضی دان مورد نیاز هست که در گذشته کتاب های هندسه ی مدرسه ای در ایران عمدتا با این دیدگاه نوشته شده بود ومعمولا روال بر این بود که در ابتدا تعریف شده ها وتعریف نشده ها واصول موضوع معرفی می شند البته چنین تنظیم وتدوینی شبیه کتاب اصول اقلیدس بود به این معنی که اقلیدس تمام مطالب هندسه ی زمان خود را بر اساس سلسله مراتب موضوعی تنظیم کرد ویکی از ماندگار ترین کتب ریاضی را خلق کرد اما ماهیت کتاب درسی مدرسه ای با آثار کلاسیک ریاضی متفاوت است .

آموزش جدید هندسه در ایران با دو کتاب هندسه مهندس الممالک وهندسه ی رهنما شروع شد مرحوم بیرشک درباره این دو کتای اظهار می دارد که زمانی که ما در دو دوره متوسطه درس می خوانیم در زمینه هندسه دو تا کتاب متداول بود یکی هندسه مرحوم غلام حسین رهنما ویکی هم مال مرحوم میرزا رضا خان نجمی مهندس الممالک کتاب راهنما کمی مشکل بود که شاگرد احتیاج به زحمت  نداشت بنده تصمیم گرفتم کتابی بنویسم بینا بین سال اولی که کتاب منتشر شد گویا سال 1351 بود هم کتاب وهم راهنما وهم کتاب مهندس الممالک هر دو از میدان خارج شدند وی در توضیح چرایی رویکری که برای تالیف کتاب خود اتخاذ کرده بود ، توضیح می دهد که کتاب های درسی قدیم خیلی پربارتر از کتاب های درسی حالا بود . یعنی کسی که در دبستان درس می خواند سواد حسابش خیلی بیشتر از کتاب های درسی حالا بود .  که حالا سال اول دانشگاه را تمام می کند . اما باید همین طور باشد چون سابق تعداد دانش اموز کم بود ومعمولا افراد با استعداد درس می خواندند وآن کتاب ها را می توانستند تحمل کنند در تهیه کتب قدیم اصول روانی ونکات تربیای رعایت نمی شد بچه در آن سنی که بود ،نمی توانست تمام مطالب کتاب را بفهمد در نتیجه مقدار قابل توجهی از کتاب را حفظ می کرد و با این حال کتاب هندسه ی مرحوم بیشک نیز چون سایر کتاب های هندسه بر اساس سلسله مراتب موضوعی تنظیم شده بود در واقع کتاب ها مختلف هندسه همگی از یک ریز مواد پیروی می کردند واغلب آن ها بر اساس یک کتاب ریاضی منسجم نوشته شده بود .

با این وجود یکی از سئوال های اساسی که در رابطه با یک کتاب هندسی مدرسه ای مطرح بود این بود که آیا برای یک دانش آموز سال اول دبیرستان اصول موضوع تعریف نشده ها ومقدمات هندسه قابل فهم است ؟ آیا این مطالب انگیزه لازم را برای علاقه مند شدن به موضوع در دانش آموز ایجاد می کند یا خیر ؟

ب- چینش محتوای ریاضی بر اساس چگونگی یادیگری ریاضی یاد گیرنده

منظور از چینش محتوای ریاضی بر اساس یادگیری ریاضی یاد گیرنده این است که تدریس با مطالبی که یادگیری آن ها قابل فهم تر است ، شروع شود اما سئوالی اساسی که این جا مطرح می شود این است که چگونه می توان تشخیص داد که یک مطلب ریاضی ساده تر از دیگری است ؟ طبیعی است که پاسخ به این سئوال یعنی تشخیص این موضوع خارج از بحث ریاضی می باشد ونیازمند علوم دیگری مانند نظریه های یادگیری ریاضی وروان شناسی آموزش ریاضی وبرنامه درسی ریاضی است برای نمونه تلاش برای پاسخگویی به این سئوال مساله را از یک مساله ساده وبسیط تبدیل به یک مساله چالش آور وغنی می سازد وعوامل مختلفی را دخیل می داند که یکی از آن ها  مکتب های یادگیری ریاضی هستند که در این مقاله اشاره ای مختصری به آن ها می شود .

مکتب های یادگیری ریاضی

پاسخگویی به مساله بالا یعنی یادگیری کدام مطلب ریاضی برای دانش آموزان ساده تر ویادگیری کدام مطلب ریاضی برای دانش آموزان مشکل تر است در حوزه ی دیسیپلین جدیدی به نام آموزش ریاضی قرار می گیرد این همان دغدغه ای بود که باعث شد تا در حوالی آغاز قرن بیستم فلیکس کلاین ، به شکاف عظیمی بین ریاضی  مدرسه ای وریاضی دانشگاهی اشاره کند این شکاف در اواخر دهه 1950 ، با شوک اسپاتنیک عمیق تر شد وبی اعتمادی نسبت به تدریس ریاضی وعلومی که تنها بر اساس حقایق موضوعی بودند بیشتر شد که این بی اعتمادی بیش از همه جا از ایالات متحده آمریکا شروع شد وسپس سرتا سر جهان انتقال یافت برای کاهش این بی اعتمادی وجبران عقب ماندگی بعد از اسپانتیک دست به تدوین برنامه های درسی ریاضی موسوم به ریاضی جدید زدند .

در همان زمان پیاژه نیز این جرکت را از نظر روان شناسی یادگیری توجیه کرد وبه تعبیر فرودنتال حاصل این توجیه تدوین نظریه ی ساختارهای ضعیف توسط پیاژه بود .به گفته ی فرودنتال ریاضیات ساختارهایی از انواع گوناگون را می شناسد که ضعیف ترین ساختار قابل تصور ریاضی مجموعه است پس از آن گروه نسبت به مجموعه ساختار قوی تر است به همین ترتیب فضای برداری ساختار ی قوی  تر از گروه وفضای ضرب داخلی فضایی غنی تر از فضای برداری است زیرا این فضا فضای ویژه ی برداری است که در آن تعامد معنی می دهد با این حال فضای اقلیدسی سه بعدی ودو بعدی ساختاری قوی ت از فضای ضرب داخلی است یعنی از همه ی ساختارهای فوق غنی تر است .

طبق نظریه ی رشد ذهنی پیاژه یادگیری ساختارهای ضعیف آسان تر از ساختارهای غنی است در حالی که فرودنتال نظریه ساختار ضعیف پیاژه را نقدر کرده ومعتقد بود که از نظر پیاژه توسعه شناختی با ضعیف ترین ساختارها شروع می شود ودر راستای غنی سازی تدریجی پیشرفت می کند به نظر من این یک فرضیه ی به شدت غیر متحمل بود . اگر چه آزمای های پیاژه برای پشتیبانی این فرضیه طراحی شده بود اما نتایج چنین آزمایش هایی همیشه قانع کننده نیستند فرودنتال در ادامه ابراز داشت که یکی از علت های که پیاژه به این فرضیه معتقد بود تاثیر پذیری او از مکتب بورباکی است .

فرودنتال در مقابل این فرضیه ساختارهای قوی را مطرح کرد ومعتقد بود که یادگیری ساختارهای قوی ساده تر هستند به همین دلیل روی توسعه شناخت را از ساختارهای قوی تر به ساختارهای ضعیف تر ومجرد تر مطرح کرد که این مسیر توسعه ذهنی برای یادگیری ریاضی همان گذر یادگیری از شهود به تجرید است فن هیلی نیز تحت تاثیر فرودنتال یک نظریه یادگیری هندسه بر اساس سطوح تفکر هندسی تبیین کردند .


 

نظریه ی یادگیری هندسه

دو آموزشگر ریاضی هلندی از شاگردان مکتب فرودنتال به نام های دیتا فن هیلی و پی بر و فن هیلی ، تحت تاثیر دیدگاه فرودنتال در مورد یادگیری ریاضی ، سطوح تفکر هندسی را تبیین کردند که دانش آموزان ، طی توسعه ی شناختی خود ، از تشخیص محض تا نوشتن یک اثبات رسمی دقیق ، طی می کنند . این دو ، طی تدریس ، مشاهده کردند که توانایی استدلال (رسمی یا دقیق ) در هندسه ، به طور طبیعی و خود به خودی ، در کودکان بروز نمی کند و در نتیجه ، باید با دقت و به صورت نظام وار ، آموزش داده شود . فن هیلی و فن هیلی معتقد بودند که گذر از یک سطح یادگیری هندسی به سطح دیگر آن ، تنها به صورت پی در پی و سلسله مراتبی ، امکان پذیر است . با این وجود ، سرعت گذر همه دانش آموزان در این جریان ، یکسان نیست . به همین دلیل ، غلام آزاد ( 80-1379 ) از قول سنک ( 1989 ) ، نقل کرده است که طبق نظریه ی یادگیری فن هیلی و فن هیلی  در هر کلاس درس ، ممکن است معلم ، کتاب درسی و عملکرد دانش آموزان ، در سطوح مختلفی از تفکر باشند . در نتیجه ، آشنایی با این سطوح تفکر ، ضروری است .

سطوح تفکر فن هیلی و فن هیلی

سطح 1-تشخیص [ دیداری ]

سطح 2 – تجزیه و تحلیل ، [ آنالیز ]

سطح 3 – استنتاج غیر رسمی [ استدلال استقرایی ]

سطح 4- استنتاج رسمی [ استدلال استنتاجی ]

سطح 5 – دقت [ تعمیم ]

یعنی ، اولین مرحله یا سطح یادگیری ، تشخیص دیداری اجسام هندسی است . در مرحله دوم ، یادگیرنده به تجزیه و تجلیل این تشخیص دیداری می پردازد و روابط بین آنها را کشف می کند . سپس در مرحله سوم ، با استفاده از استدلال استقرایی ، به طور غیر رسمی ، دست به استنتاج می زند و در مرحله چهارم ، با استفاده از استدلال استنتاجی ، اقدام به اثبات حدسیه های خود می کند . سطح پنجم ، سطح دقت و تعمیم و تجرید مفاهیم هندسی و ورود به هندسه مجرد است که معمولاً ، این سطح متعلق به دانشگاه است ،در حالی که سطوح 1 و 2 ، عمدتاً مربوط به دوره های ابتدایی و راهنمایی هستند .

فن هیلی و فن هیلی ، با اتکا به این سطوح تفکر ، نظریه ای تبیین کردند ، که یکی از محبوب ترین نظریه های یادگیری در آموزش هندسه مدرسه ای است . طبق این نظریه ، یادگیرنده باید در داخل سطوح به ترتیب حرکت کند . به عبارت دیگر ، دانش آموز بدون کسب مهارت در یک سطح ، نمی تواند به سطح بالاتر برود  . البته بعضی از محققان ، نقدهایی بر نظریه ی یادگیری هندسه ی فن هیلی و فن هیلی وارد کرده اند که مهم ترین آنها در مورد گسسته بودن مراحل یادگیری است . با این وجود ، نتایج حاصل از تحقیقات بیشتر ، محققان را به این سمت سوق داده است که حرکت از یک سطح ، نمی تواند به سطح بالاتر برود . البته بعضی از محققان ، نقدهایی بر نظریه ی یادگیری هندسه ی فن هیلی و فن هیلی وارد کرده اند که مهم ترین آن ها در مورد گسسته بودن مراحل یادگیری است . با این وجود ، نتایج حاصل از تحقیقات بیشتر محققان را به این سمت سوق داده است که حرکت از یک سطح به سطح بعدی را ، به عنوان یک فرایند پیوسته در نظر بگیرند ، زیرا رسیدن به این سطوح تفکر ، تدریجی است و دانش آموزان مختلف ، می توانند در زمینه های مختلف هندسه ، در سطوح مختلفی قرار گیرند . البته ، هدف این مقاله ، تشریح این نظریه نیست ، بلکه مقدمه ای است برای توضیح رویکردی که در چینش محتوای کتاب های هندسه 1 و 2 اتخاذ شد .

چگونگی چینش محتوای کتاب های هندسه (1) و (2)

با توجه به این که طبق نظریه ی یادگیری هندسه ی فن هیلی و فن هیلی ، سطوح تفکر برای اغلب دانش آموزان دبیرستانی ، سطح 3 و سطح 4 است ، این سئوال مطرح می گردد که چگونه می توان سطح 4 ، یعنی استدلال استنتاجی را به دانش آموزان ایرانی آموزش داد . آیا سطح 4 ، خود دارای زیر سطح های مختلف است ؟ تجربه ی آموزش هندسه در ایران و یافته های تحقیقات آموزشی در دنیا ، نگارنده و همکاران وی را متقاعد کرد که یادگیری تفکر جبری و محاسباتی از تفکر استنتاجی مجرد ، ساده تر است . بنابراین ، در تنظیم کتاب های هندسه (1) و (2) ، بخش های محاسباتی هندسه به ابتدای هندسه (1) منتقل شدند . هم چنین ، محاسبات زاویه ، مساحت ف قضیه فیثاغورس ، تشابه و محاسبه حجم و سطح اجسام ، همگی به هندسه (1) منتقل شدند . هم چنین ، محاسبات زاویه ، مساحت ، قضیه فیثاغورس ، تشابه و محاسبه حجم و سطح اجسام ، همگی به هندسه (1) انتقال یافتند . زیرا یافته های تجربی نشان می دهد که اگر از دانش آموزس خواسته شود که مثلا ثابت کند a2=bc  ، این کار برای او مشکل تر است تا از او سئوا شود که با داشتن a,c,b را بر حسب آن ها محاسبه کند که همان نتیجه مورد نظر است . پولیا نیز ، معتقد است که ، مسایل ثابت کنید برای دانش آموز ، رعب آورند در صورتی که مسایل « به دست آورید » ساده و دلنشین هستند . بنابراین ، در هندسه (1) سعی شد که بیشتر مسایل ، به صورت « محاسبه کنید » بیان شوند . هم چنین ، ادبیات پژوهشی در حوزه یادگیری هندسه نشان می دهد که ردیف کردن اصول موضوع در ابتدای آموزش هندسه ، باعث بی انگیزگی و تنفر دانش آموزان از هندسه می شود . دبه همین دلیل ، در هندسه (1) ، اصول موضوعه ی همنهشت بودن مثلث ها ؛ یا اصول موضوعه ی مساحت ، بدون نام بردن از واژه اصل موضوع ، بیان شدند ، در حالی که در کتاب از آن ها به طور دقیق استفاده شده است . مثلاً ، بعضی از مطالبی که در دوره راهنمایی آموزشداده شده و استدلال استنتاجی ، دوباره بیان گردیده و آموزش داده شده اند و همین تاکتیک ، در فصل اول هندسه (2) نیز ، به کار گرفته شده است . در این فصل ، آموزش غیر مستقیم نامساوی ها د رمثلث ، همرسی در مثلث ها ، مکان هندسی  و رسم هندسی ، در غالب استراتژی حل مسأله ، برهان خلف و عکس قضیه ، بیان و تدریس شده اند .همین طور ، هندسه فراکتالی به عنوان نمونه ایی از استدلال استقرایی ، آموزش داده شده است . پس از آن ، فصل دوم هندسه (2) ، به مبحث موضوعی دایره به طور سنتی پرداخته که در اثبات قضیه های آم ، از مباحث فصل اول هندسه 2 مانند برهان خلف و عکس قضیه استفاده شده است . فصل (3) کتاب هندسه (2) ، به مبحث تبدیلات به صورت تحلیلی پرداخته است . لازم به ذکر است که از لحاظ سطح یادگیری ، این مبحث در هندسه (1) قرار می گیرد ، ولی به لحاظ این که کتاب هندسه (1) برای سال اول دبیرستان تنظیم شده بود و هندسه مختصاتی در ریاضی سال اول تدریس می شد که پیش نیاز مبحث تبدیلات با دید تحلیلی بود ، به این دلیل به هندسه (2) منتقل شد . بخش پایانی فصل سوم کتاب هندسه (2) به مبحث هندسه تبدیلی اختصاص دارد که از لحاظ سطوح تفکر ، تا اندازه ایی پیشرفه است و در بخش 3-7 ، با عنوان اثبات با استفاده از تبدیل ها ، آماده است .

هندسه خط و صفحه در فضا

هندسه خط و صفحه در فضا به صورت ترکیبی که در هندسه دبیرستانی ایران آمده است ، در بالاترین سطح تفکر در نظریه یادگیری هندسه فن هیلی و فن هیلی قرار دارد ، یعنی از لحاظ تجرید ، در بالاترین سطحاست و تمام مراحل قبل از خود را در نظریه یادگیری فن هیلی و فن هیلی ، به طور کامل در بر دارد . البته هندسه ی خط و صفحه در فضا به صورت ترکیبی ، سال ها است که از برنامه درسی اغلب کشورهای دنیا ، حذف شده است . در نتیجه ، اکنون در بسیاری از کشورها ، دیگر درباره کم رنگ شدن این مبحث در برنامه درسی ریاضی مدرسه ای ، صحبت نمی کنند ، چون اصولاً این مبحث در برنامه درسی آنها وجود ندارد .

کتاب های جدید تر هندسه نیز ، در یک یا دو صفحه ، به مباحث خط و صفحه در فضا پرداخته اند که از آن میان ، می توان به جیکوب ( 1974 ) لوید و همکاران ( 2005 ) اشاره کرد .

این در حالی است که در اکثر کشورها ، برای آموزش هندسه ی خط و صفحه ، از هندسه برداری و تحلیلی سود می جویند ، زیرا معتقدند که یادگیری این نوع هندسه ، آسان تر است و دیگر نیازی به تدریس هندسه ی خط و صفحه به صورت ترکیبی نیست .

پس ، بودن یا نبودن هندسه ی خط و صفحه به صورت ترکیبی در برنامه ی درسی هندسه ی مدرسه ای ، خود یک مسأله باز است و نیاز به پژوهش های بنیادی دارد . در همین راستا ، زنگنه ( 1376 ) ، استاندارد زیر را برای برنامه ی درسی ملی ریاضی در ایران ، پیشنهاد کرد :

استاندارد 1 : برای حذف هر مفهوم در برنامه ی درسی ریاضی ، باید دلیل های کاملاً قانع کننده مبتنی بر پژوهش وجود داشته باشد . در غیر این صورت ، وجود آن مفهوم در برنامه های درسی ، بلامانع است .

با توجه به استاندارد پیشنهادی بالا و با توجه به این که هندسه ی خط و صفحه در برنامه ی درسی ریاضی ایران همیشه وجود داشته و هنوز پژوهش اصیلی برای حذف آن انجام نشده است ، وجود آن مفهوم در برنامه ی درسی ، بلامانع است .

با توجه به استاندرد پیشنهادی بالا و با توجه به این که هندسه ی خط و صفحه در برنامه ی درسی ریاضی ایران همیشه وجود داشته و هنوز پژوهش اصیلی برای حذف آن انجام شده است ، وجود داشته و هنوز پژوهش اصیلی برای حذق آن انجام نشده است ، وجود این مبحث در برنامه ی درسی ریاضی ایران ، قابل توجیه بود . به همین دلیل ، ابتدا قرار شد که این مبحث ، در کتاب هندسه (3) و همراه مطالب پیشرفته تر دیگری از هندسه ی مسطحه ، مطرح گردد و به طور موقت ، تا کامل شدن این بخش از کتاب ، به مدت یک سال ، از بخش مشابه در کتاب هندسه ی نظام قدیم استفاده شود و به نام جزوه ی تکمیلی هندسه (2) به این کتاب پیوست شود . متأسفانه ، این تصمیم موقتی ، بیش از 7 سال طول کشید و این تاخیر ، به دلیل عدم هماهنگی زبان و فرهنگ و رویکرد این جزوه با کتاب هندسه (2) ، باعث اختلال در یادگیری هندسه توسط دانش آموزان ، و مبهم شدن اهداف کتاب های هندسه (1) و (2) برای معلمان

اهداف آموزشی فصل 4 هندسه (2)

برای آشنایی بیشتر با فصل 4 هندسه (2) ، بخش های آن به اختصار ، معرفی می شوند :

4-1: اصول و مقدمات

1- آموزش اصول موضوعه ی هندسه ی خط و صفحه ، با استفاده از درک شهودی و استدلال استقرایی ؛

2- استفاده از این اصول ، برای اثبات قضیه ها و مسأله های جدید ؛

3- آموزش مفهوم وجود و یکتایی ، و استفاده کردن از این مفهوم به عنوان ابزار قوی حل مسأله ریاضی ؛

4- استفاده از برهان خلف به عنوان ابزاری برای حل مسأله ریاضی ؛

5- توسعه ی شهود هندسی در فضای سه بعدی گ

6- درک وضعیت خط ها و صفحه ها در فضا ؛

7- مشخص کردن فضا .

4-2: خط ها و صفحه های موازی

1- شرط لازم و کافی توازن خط و صفحه ؛

2- شرط لازم و کافی توازی دو صفحه ؛

3- استفاده از نتایج خط و صفحه برای حل مسأله های جدید .

4-3: عمود بودن خط و صفحه

ترسیمات هندسی به عنوان قلب اثبات در قضیه های وجودی

یکی از ظرافت های تدوین برنامه های درسی ریاضی در این است که بدانیم چه داندازه از هر مطلب باید گفته شود و با چه گستردگی آن مطلب ارایه شود . با توجه به این که هر روز ، مباحث و مطالب جدیدی وارد برنامه درسی ریاضی دبیرستان می شود ، واضح است که نمی توان تمام مطالبی را که در گذشته تدریس می شد ، نگه داشت و مطالب جدید را نیز به آن اضافه نمود . بنابراین ، چاره ای جز گزینش مطالب نیست ، مثلا درگذشته ، هندسه ی فضایی در پایه ی یازدهم رشته ریاضی ، به عنوان یک درس در یک سال تحصیلی ارایه می شد ( صفاری و قربانی ، 1330 و 1345 ) . با وجودی که در حال حاضر ، تمام هندسه ی دوره ی متوسطه ی رشته ریاضی – فیزیک ، تنها 5 واحد و شامل یک درس 2 واحدی و یک درس 3 واحدی است . پس به طور طبیعی ، با این کاهش ساعت آموزشی ، جایگاه اختصاص داده شده به هندسه ی فضایی سابق نیز کاهش یافت و به صورت یک فصل در کتاب هندسه (1) و یک فصل در کتاب هندسه (2) در آمد . از این گذشته ، با عمومی تر شدن ریاضی در دو دهه ی اخیر ، و جمعیت فزاینده ای که در رشته های ریاضی – فیزیک تحصیل می کنند و با مقایسه آن ها با دانش آموزان دبیرستانی سال های 1342 تا 1346 ، به این نتیجه می رسیم که هم حجم ساعات اختصاص داده شده به این مبحث بسیار کم تر از گذشته شده و هم مخاطبان آن با گذشته فرق کرده اند . پس طبیعی است که با توجه به چنین شرایطی ، باید از بین مباحث هندسه ی خط و صفحه ، دست به گزینش زد و بعضی از قبضه ها را انتخاب کرد و این کاری بود که در جریان تالیف فصل 4 کتاب هندسه (2)انجام شد .

اما انتخاب مباحث و قبضه ها ، یکی از جالب ترین ، واقعی ترین و چالش آورترین بحث هایی بود که در جریان تالیف فصل 4 کتاب هندسه (2) انجام شد . اثبات کامل قضیه ها هم به حجیم شدن بی دلیل این فصل از کتاب می انجامید . پس راه حل میانه ی مورد نیاز بود . این راه میانه ، تشریح ایده ی اثبات قضیه و در واقع ، تشریح آن

چیزی بود که اثبات بر اساس آن نوشته می شود . این همان چیزی بود که از آن ؛ به عنوان ایده ی اساسی و اصلی اثبات یا قلب اثبات نام برده شد . زیرا اثبات رسمی و دقیق قضیه ها ، در واقع ، منظم کردن و پرکردن شکاف ایده ی اثبات یا قلب اثبات است .

در هندسه ی خط و صفحه ، طولانی ترین اثبات قضیه ها ، در قضیه های وجودی مطرح می شوند . نگارنده مدت ها فکر می کرد که برای قضیه های وجودی ، چگونه قلب اثبات را پیدا کند که هم شهودی باشد و هم در خاطر دانش آموزان ، باقی بماند . بالاخره این نتیجه حاصل شد که ترسیمات هندسی در واقع ، قلب اثبات در قضیه های وجودی هستند و این خود ، یک اثبات ساختنی است . به همین دلیل ، از ترسیمات هندسی به عنوان یک رهیافت برای اثبات قضیه های وجودی استفاده شد .


 

سخن پایانی :

در این مقاله ، با مروری بر سیر تاریخی تالیف کتاب های هندسه در ایران و معرفی یک نظریه ی یادگیری هندسه ، عوامل دخیل در تدوین کتاب های هندسه (1) و (2) ، نحوه چینش مطالب ، اهداف آموزشی و به خصوص ، اهداف آموزشی فصل 4 کتاب هندسه (2) با تفصیل بیشتری شرح داده شد . هدف این مقاله ، بیش از هر چیز ، ارایه ی یک مرجع و راهنمای کتاب برای معلمان ریاضی ، و منبعی برای پژوهش های بنیادی درباره هندسه در ریاضیات مدرسه ای در ایران بود . اهداف برنامه ی درسی ریاضی در دبیرستان ، نیازمند تدوین یک برنامه ی منسجم و مکتوب است تا پژوهشگران و معلمان بتوانند بر اساس آن ، به تحقیق تقد و بررسی کتاب های درسی ریاضی بپردازند .

 هم چنین ، اولین مرحله ی نقد و بررسی کتاب درسی ، آگاهی از اهداف . فلسفه ی آموزشی کتاب است . منتقد ، زمانی می تواند به نقد کتاب درسی بپردازد که به اهداف برنامه ریزان و مولفان آگاهی داشته باشد . متأسفانه ، بعضی اوقات ، مطالبی نقد می شوند که نه در کتاب درسی آمده و نه هدف مولفان آن کتاب بوده است . این خلأ ، مسلماً تنها به نقادان کتاب ها بر نمی گردد ، بلکه بیشتر به کمبود مرجعی که برنامه ی درسی واهداف آموزشی کتاب ها را شرح داده یاشد بر می گردد . امید است که این مقاله ، اولین قدم در این راه باشد .


 

1

+ نوشته شده توسط ناحیه2 کرمانشاه ( حیدری) در جمعه هشتم بهمن 1389 و ساعت 17:41 |