گروه ریاضی متوسطه اول استان کرمانشاه

آموزش کامل یافتن ریشه معادلات درجه اول و درجه دوم

ریشه یابی معادلات روشهای یافتن ریشه های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات میباشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف میکنند، ریشه های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر میگیرند.

برای مثال ریشه های معادله ی فرضی

$a7e5799eb2515eb20dc8300d9f38ee60$

نسبت به محور xها در واقع مجموعه ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها میباشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع میباشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم

حل معادله درجهٔ اول

برای پیدا کردن ریشههای x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر $c4caf9fbaebe9ae433b67dd3462e5da0$ میباشد که در آن $89f771207ffb39300acb88dff8bae241$ عرض اصلی ، $f7b4a9a272539da17df482a540896746$ عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار میباشد، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت $7a5f55bad0803c78a07ccc389e2eb2a9$ نمایش داده میشود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده میشود
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :
چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :
$597be0121612bb03f5d32432682b0f8e$

با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :

$41dc0f0dfbfc1feff1de6cf6973885ed$

$6e7635d7fabf6e2c1f6a6d90e7f4453d$

و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.

حل معادلات درجهٔ دوم

همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور xها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم، پس داریم :

$0c4913db725b72609d4825124dda12aa$

با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم، توجه کنید که a برابر با صفر نمیتواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول میشود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :

$94ef9a10c17699b7f7bfd3003dca58ab$
اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آنها صفر است، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمیتواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر میباشد، پس داریم :
$565ef9e8ab1deb79252b0a22d5dc25c9$
برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :

$4442cd5ad37e6d48ef9e6bbd5a9521b2$

$1dcb5bf6cf53b5f0a5d88294191124ff$

$494b816bd5b974fb53fdffa1498929b0$

$d9ebee8df2916070c3d0ffa91a105db2$
حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :

$5397a1ebcbd09dadc764ffd89233c8a7$

$3c0b41fc3a7bac7745406b0a4f82538f$

$9fc5b48283386d734496d00625002018$
در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر میباشد:
$36cca3f82805e94a43f9db7785af3fc6$

$b29ff214bfe92a3eb216beca961a82ef$

معمولاً عبارت $450f33a677f74a27a4d1ebc7295b72df$ را برابر با حرف دلتای بزرگ $659d23f0ed16cdb87b1d41c7b58b52f4$ نمایش میدهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.
طبق قضیهٔ تثلیث دلتا میتواند مقادیر زیر را اختیار کند :
1 - $23114ae935ac52c2fcf8bd7aff30b936$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد
2 - $bdbbdd50f07e9fa49eb834e048576756$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد
3 - $fad8e0c6904c7c0d09150c54207dbf06$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمیتواند باشد، از سوی دیگر از آنجا که $659d23f0ed16cdb87b1d41c7b58b52f4$ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها میتواند مقادیر بزرگتر یا مساوی صفر را اختیار کند.