اين مسئله را با تصاعد هندسی با قدرنسبت 2 می توان توجيح کرد .فرض کنيد شما کاغذي را انتخاب کرده ايد که داراي پهناي w و ضخامت t است. اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتي به جايي برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت. با هر بار تا کردن ضخامت کاغذ دو برابر مي شود و پهناي آن نصف خواهد شد. يعني بعد از n  بار تا کردن ضخامت  2ntخواهد بود و البته مشخص است که پهنا2-nw   مي شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر 22nt/w مي شود. اگر با کاغذي به پهنايcm11 و ضخامت cm ۰/۰۰۲ اين کار را انجام دهيد، بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w  برابر 1/6 مي شود. اين بدان معني است که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر مي شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر اين کاغذ را ۵۰ بار بزرگ تر کنيد شايد بتوانيد آن را تا 10 بار هم تا کنيد.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنيد ممکن است تعداد دفعات بيشتري بتوانيد به تا کردن کاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر مي شود در صورتي که پهنا هر دو دفعه يک بار نصف مي شود.

چندين سال پيش هنگامي که بريتني گاليوان در دبيرستان درس مي خواند با اين مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذي را 12 بار تا کند. او بايد براي گرفتن نمره از يکي از کلاس هايش اين مسئله را حل مي کرد. بعد از آزمايش راه هاي مختلف او موفق شد که ورقه نازکي از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گاليوان بر روي معادله تعداد دفعاتي که مي توان يک کاغذ با اندازه معين را تا کرد کار کرد.

Lبرابر پي ضرب در t تقسيم بر 6 ضرب در دو به توان n به اضافه چهار ضرب در 2 به توان n منهاي يک. که در آن L کمترين درازاي کاغذ، t ميزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتي است که مي توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L بايد يکسان باشد.

براي يک طول و ضخامت معين عبارت(2n + 4 )(2n – 1)/6 بيانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0  شروع مي کنيم و به همين ترتيب به رشته اي از اعداد به اين صورت مي رسيم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

اين به اين معني است که در تاي دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذي که در تاي اول از دست مي رود از دست خواهد رفت.

 

نظر فراموش نشود